Mategabria's Blog

Apoyo de Matemáticas para secudaria

Proporcionalidad

Posted by mategabria en junio 3, 2010

Objetivo:

En esta unidad encontraras videos , links y talleres para rforzar el concepto de proporcionalidad.

Para reforzar el tema de proporcionalidad sigue paso a paso las siguientes indicaciones:

  1. Lea los documentos y analice las presentaciones de la sustentación teórica para que comprenda el concepto de la proporcionalidad.
  2. Realice las actividades propuestas dentro de las lecturas.
  3. Observe con detenimiento los videos que se presentan a continuación:

VIDEO DE PROPORCIONALIDAD


PROPORCIONALIDAD

Introducción

En la vida corriente utilizamos el término PROPORCIÓN con distintos sentidos:

Cuando decimos que alguien está bien proporcionado damos a este término un sentido de armonía y estética: “este niño ha crecido mucho, pero está bien proporcionado”

  • Si comentamos que el éxito de una persona es proporcional (o está en proporción) a su trabajo ponemos de manifiesto la correlación entre estas dos variables: ÉXITO y TRABAJO.
  • También solemos utilizarlo para comparar fenómenos en distintos ámbitos: ” proporcionalmente una hormiga es más fuerte que un elefante ” (el hombre no resiste las comparaciones con otros animales: un escarabajo puede levantar 850 veces el peso de su propio cuerpo. Proporcionalmente equivaldría a que un hombre levantara sobre su cabeza un tanque de 50 Tm. Una pulga puede saltar hasta 130 veces su altura. Para competir con ella un hombre debería saltar limpiamente la Giralda de Sevilla).

También se cometen errores:

  • Hace años se estudió la reacción de un elefante macho al LSD (una droga). Los científicos calcularon la dosis que se debía administrar a partir de la cantidad que pone a un gato en estado furioso. Esta proporción fue trágica para el elefante pues inmediatamente empezó a correr y a trompetear, tuvo convulsiones y expiró.

En matemáticas esta palabra tiene un significado más restringido que trataremos de precisar:

Consideremos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1

En la siguiente tabla se relaciona la superficie de una valla a pintar y la pintura empleada.

m2 de valla a pintar 1 1’5 2 4
Litros de pintura empleados 0’33 0’495 0’66 1’32

Ejemplo 2

Desde que un conductor ve un obstáculo, reacciona, pisa el freno y el coche realmente se detiene, se recorre una distancia que depende de la velocidad:

Velocidad que lleva (Km/h) 20 40 60 80 100
Distancia  (Km) 7 20’5 39’5 64 95

Ejemplo 3

Dibuja un triángulo y construye una tabla que relacione la altura de cada rectángulo con su base, sabiendo que la base crece igual que la altura.

Ejemplo 4

El precio de un aparcamiento es:

Tiempo Precio
hasta 1 hora 1 €
hasta 2 horas 2 €
……………… ………….

En todos estos ejemplos existe una relación entre dos magnitudes. Además, cuando una varía  provoca que varíe la otra. Podemos precisar aún más:

En el ejemplo 1:

– Al doble de m2 de valla corresponde doble cantidad de litros de pintura.

– Al triple de m2 de valla corresponde triple cantidad de litros de pintura.

– A la mitad de m2 de valla corresponde la mitad cantidad de litros de pintura.

En el ejemplo 3:

– A doble base corresponde doble altura.

– A triple base corresponde triple altura.

– A cuádruple base corresponde …. altura.

Cuando podemos utilizar este tipo de expresiones:a doble ………….. doble,

a mitad………….. mitad,

a triple …………. triple,

a un tercio…..un tercio,

etc …………………….

decimos que las dos magnitudes son directamente proporcionales.

“La superficie de valla a pintar es directamente proporcional al volumen de litros de pintura”.

“Las longitudes de las bases son directamente proporcionales a las longitudes de las alturas”.

En el ejemplo 4 :

es conveniente observar que si sólo tomamos valores enteros puede parecer que existe proporcionalidad. No es así, como ponen de manifiesto los siguientes valores:

Tiempo Precio
30 minutos 1000
60 minutos 1 000
70 minutos 2 000
140 minutos 3 000

En este caso diremos que el precio del estacionamiento no es directamente proporcional al tiempo aparcado.

¿ Y el ejemplo 2 ? Averígualo.

Proporcionalidad y tablas. Regla de tres

¿Cómo reconocer una proporcionalidad directa con tablas?

Analiza los datos del ejemplo 1.

Que pasa si:

Al dividir litros de pintura sobre m2 de valla a pintar:

El cociente entre estos dos números correspondientes de cada serie es constante:

A esta constante ( en el caso anterior 0,33) lo llamaremos razón de proporcionalidad.

Actividades

  1. Teniendo encuenta la siguiente situación problema.  Esta situación corresponden a una proporcionalidad directa?. ¿ Cuál es la razón de proporcionalidad ? .

Un estudiante pesa algunas bolas de acero. He aquí los resultados:

Diámetro 8 mm 11 mm 16 21 25
Peso 2’1 g 5’5 g 17 38’4 64’9

¿ Son directamente proporcionales las magnitudes diámetro y peso?

2. Vertemos diferentes cantidades de agua en un vaso cónico. En cada vertido medimos la altura del agua y su volumen:

¿ Es el volumen directamente proporcional a la altura ?

Regla de tres directa

Las situaciones de proporcionalidad han dado lugar al aprendizaje de recetas conocidas con el nombre de reglas de tres: Si 5 Kg. de uvas cuestan  $8000.¿Cuánto cuestan 7 Kg.?

Resolviendo:

¿ Por qué efectuamos así esta regla ?

Porque son magnitudes directamente proporcionales y por lo tanto, los cocientes son iguales:

En general, podemos hacer un esquema para dos magnitudes que sean directamente proporcionales:

No siempre merece la pena aplicar una regla de tres: Si con 10 litros de gasolina recorro 60 Km, con 80 l (8 veces 10 l) recorreré 8 veces más, es decir 8.60=240 Km.

Actividades

  1. Completa la siguiente tabla de proporcionalidad:
2 5 4 2+5 5+4 5-2 2+5+6+4
3 9 6
  1. Demuestra las siguientes propiedades de las proporciones:

a) Esta propiedad la utilizarás más tarde para resolver problemas de repartos. Si la tabla:

a b c
a’ b’ c’

es una tabla de proporcionalidad directa (es decir, si se cumple que ), entonces la tabla

a b c a+b+c
a’ b’ c’ a’+b’+c’

también es de proporcionalidad directa ( y entonces también se cumple que )

b) Si los números a, b, a’, b’ son tales que , entonces

c) Probar que:

Proporcionalidad y gráficas

¿Cómo reconocer una proporcionalidad directa a partir de una gráfica?

  1. Para comenzar realiza estas actividades:

a)    Traza unos ejes cartesianos y dibuja una gráfica con los datos del ejemplo 1.

b)    Haz lo mismo con el ejemplo 3.

Observa la gráfica:

La altura del agua en la probeta es directamente proporcional al tiempo que permanece abierto el grifo.

  1. La densidad del cobre es de 8’94 gr/cm3. Expresa la relación entre la masa del metal y el volumen que ocupa mediante una gráfica. ¿Son estas magnitudes directamente proporcionales?

Dos magnitudes M y M´ directamente proporcionales dan lugar a una gráfica de este tipo:

Si la gráfica de dos variables es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas, entonces una variable es directamente proporcional a la otra.

En el ejemplo 2 comprobaste que no existe proporcionalidad. Dibuja su gráfica y observarás que no se corresponde con una línea recta que pase por el origen de coordenadas.

En situaciones reales, relaciones de proporcionalidad directa pueden quedar desvirtuadas por inexactitudes en la medida:

Se cuelgan diferentes masas de una muelle y se mide el alargamiento en cada momento.

Aquí tienes los resultados (m representa la masa en gramos y a el alargamiento en mm):

m 50 100 150 200 250 300
a 80 180 250 350 435 500

Cuando dibujas los puntos correspondientes, éstos no se ajustan estrictamente con una línea recta que pase por (0,0).

Sin embargo, los puntos sí se ajustan bastante a la línea dibujada en la figura de abajo.

Si analizas los puntos de la gráficas obtienes:

La razón de proporcionalidad es k = 1’7, es decir a ≈ 1’7 m

OTROS VIDEOS

http://www.youtube.com/watch#!v=hJgO5cQBQ7s&feature=fvw

http://www.youtube.com/watch#!v=wUgTJ4iU4rE&feature=related

http://www.youtube.com/watch#!v=1pEHR0hJvQw&feature=related

2 comentarios to “Proporcionalidad”

  1. daniela said

    hola profe claudia

    este trabajo es el de las vacaciones. pues quisiera estar segura
    gracias por su atención

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